Застосування сингулярного розкладу матриці при розв'язанні некоректних геодезмчних задач
Рубрика:
| Согор, АР, Сідоров, ІС, Смірнова, ОМ |
| Косм. наука технол. 2024, 30 ;(3):71-79 |
| https://doi.org/10.15407/knit2024.03.071 |
| Мова публікації: Українська |
Анотація: Найбільш надійний метод для обчислення лінійних рівнянь принципу найменших квадратів, який можна використати для розв’язування некоректних геодезичних задач, базується на матричній факторизації, котру називають сингулярним розкладом. Є й інші методи, що вимагають менше машинного часу та пам’яті. Але вони менше ефективні щодо врахування похибок вихідної інформації, похибок заокруглення та лінійної залежності.
Методологія такого наукового дослідження полягає в тому, що для будь-якої матриці A та будь-яких двох ортогональних матриць U та V існує матриця Σ, яка визначається зі співвідношення . Ідея сингулярного розкладу полягає в тому, що належним вибором матриць U та V можна перетворити більшість елементів матриці в нулі та зробити її діагональною з невід’ємними елементами.
Новизна та актуальність наукових рішень полягає у доцільності застосування сингулярного розкладу матриці при одержанні лінійних рівнянь методу найменших квадратів, який можна використати для розв’язування некоректних геодезичних задач.
Мета наукового дослідження полягає в одержанні стійкого розв’язку параметричних рівнянь поправок до результатів вимірювань у некоректних геодезичних задачах.
На основі виконаних досліджень по застосуванню методу сингулярного розкладу при розв’язуванні некоректних геодезичних задач, можна підсумувати наступне. Сингулярним розкладом дійсної матриці називають будь-яку її факторизацію на матрицю з ортогональними стовпцями , ортогональну матрицю та діагональну матрицю , елементи якої називають сингулярними числами матриці , а стовпці матриць та ¾ лівими та правими сингулярними векторами. Якщо матриця має повний ранг, то її розв’язок буде єдиним та стійким, який можна отримати за допомогою різних методів. Але метод сингулярного розкладу, на відміну від інших методів, дає можливість розв'язувати задачі з неповним рангом. Як показують результати досліджень, досить поширений в геодезії метод розв’язування нормальних рівнянь за допомогою послідовного виключення невідомих (метод Гаусса) не дає стійких розв'язків для некоректних геодезичних задач. Тому у випадку погано зумовлених систем рівнянь запропоновано використовувати метод сингулярного розкладу матриці, який в обчислювальній математиці носить назву SVD. Метод сингулярного розкладу SVD дає можливість одержувати стійкі розв’язки як стійких, так і нестійких за своєю природою задач. Така можливість розв’язувати саме некоректні геодезичні задачі пов’язана з застосуванням деякої границі τ, вибір якої можна здійснювати за відносними похибками матриці коефіцієнтів параметричних рівнянь поправок та вектора результатів геодезичних вимірювань . Причому розв’язок системи нормальних рівнянь, одержаний методом SVD, буде мати найменшу довжину.
Таким чином, застосовуючи апарат сингулярного розкладу матриці коефіцієнтів параметричних рівнянь поправок до результатів геодезичних вимірювань, ми отримали нові формули для оцінки точності методу найменших квадратів при розв’язуванні некоректних геодезичних задач. Виведені формули мають компактний вигляд і дають можливість досить легко обчислити елементи і оцінки точності, практично нехтуючи складну процедуру обертання матриці коефіцієнтів нормальних рівнянь.
|
| Ключові слова: матрична факторизація, метод найменших квадратів, некоректні геодезичні задачі, оцінка точності, сингулярний розклад матриці |
References:
1. Abdi H., Williams L. J. (2010). Principal component analysis. Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics, 2, 433-459.
https://doi.org/10.1002/wics.101
2. Berkooz G., Holmes Ph., Lumley J. L. (1993). The proper orthogonal decomposition in the analysis of turbulent flows. Annu. Rev. Fluid Mech., 25, 539-575.
https://doi.org/10.1146/annurev.fl.25.010193.002543
3. Forsythe G. E., Malcolm M. A., Moler C. B. (1977). Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs. N. J. Prentice-Hall.
4. Golub G. H., Reinsch C. (1971). Singular value decomposition and least squares solution. Handbook for Automatic Computation. Vol. II: Linear Algebra. Eds J. H. Wilkinson, C. Reinsch. Heidelberg: Springer.
https://doi.org/10.1007/978-3-642-86940-2_10
5. Gorban A. N., Kegl B., Wunsch D., Zinovyev A. Y. (Eds). (2007). Principal Manifolds for Data Visualisation and Dimension Reduction. Ser.: Lecture Notes in Computational Science and Engineering 58. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, XXIV, 340 p. ISBN 978-3-540-73749-0.
6. Hyvdrinen A., Karhunen J., Oja E. (2001). Independent Component Analysis. A Volume in the Wiley Series on and Adaptive Learning Systems for Signal Processing, Communications, and Control. John Wiley & Sons, Inc., XVI+481 p. ISBN 0-471-40540-X.
7. Lawson C. L., Hanson R. J. (1974). Solving least squares problems. Englewood Cliffs. N. J. Prentice-Hall.
8. Scholz M., Fraunholz M., Selbig J. (2007). Nonlinear Principal Component Analysis: Neural Network Models and Applications. Eds. A. N. Gorban et al. LNCSE 58, Springer, ISBN 978-3-540-73749-0.
9. Stewart G. W. (1973). Introduction to Matrix Computation. New York: Academic Press.
10. Wilkinson J. H. (1965). The Algebraic Eigenvalue Problem. Oxford: Clarendon Press.